Enunciado

Resolva o problema de valor inicial.

y ' =     ( 2   -   e x ) / ( 3   + 2 y )   , y ( 0 )   =   0

e determine onde a solução atinge seu valor máximo.

Passo 1

A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x   do outro lado. Antes disso, vamos fazer essa substituição: y '   = d y d x

Assim, temos:

d y d x =   ( 2   -   e x ) / ( 3   + 2 y )  

3 + 2 y   d y = 2 - e x   d x

Passo 2

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ 3 + 2 y   d y =   ∫ 2 - e x   d x

3 y   + y 2 + c = 2 x   - e x + c '

3 y   + y 2 = 2 x   - e x + C

No enunciado há uma informação de que y ( 0 )   =   0 . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

3 y   + y 2 = 2 x   - e x + C

Ao substituir a informação encontramos o valor da constante C. Logo, temos:

3   .   0   + 0 2 = 2   .   0   - e 0 + C

C   = 1

Assim, a equação é:

3 y   + y 2 = 2 x   - e x + 1

Passo 3

Completando quadrado na equação acima, temos:

y   =   -   3 / 2   +   2 x   -   e x   +   13 / 4  

E temos que a solução será definida quando 2 x   -   e x   +   13 / 4 ≥   0 , ou seja, - 1,5   ≤ x   ≤ 2   (aproximadamente).

Logo, se a derivada de y (y’) for igual a zero teremos x   =   l n   2 .

Enquanto que a segunda derivada de y (y’’) é maior que zero, ou seja, temos um intervalo definido. Assim, o valor para que a solução obtenha uma valor de máximo é quando x   =   l n   2 .

Resposta

3 y   + y 2 = 2 x   - e x + 1 Ou y   =   -   3 / 2   +   2 x   -   e x   +   13 / 4  

x =   l n   2

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