Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Capítulo 9.4 - Ex. 28

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Resolver o Exercício 27 para f → = ( 3 x z , 4 y z , 2 x y )

Passo 1

Mas o que pede o exercício 27? Dado um campo vetorial f → , do ponto A ( 0,0 , 0 ) ao B ( 1,1 , 2 ) , calcular (a) o segmento de reta que une os dois pontos; (b) intersecção das superfícies z = x 2 + y 2 e x = y ; (c) poligonal A   C   B , onde C = ( 3,3 , 1 ) .

Passo 2

  1. Para calcularmos a integral de linha no seguimento dado, devemos inicialmente parametrizar a reta. Do ponto A ao B podemos fazer r → t = t , t , 2 t com t ∈ 0,1 e consequentemente d r → = d t , d t , 2 d t
  2. Logo fazendo

    ∫ A B f → ⋅ d r → = ∫ 0 1 f → r → t ⋅ d r → t = ∫ 0 1 6 t 2 , 8 t 2 , 2 t 2 ⋅ d t , d t , 2 d t

    Logo teremos

    ∫ 0 1 18 t 2 d t = 6 t 3 0 1 = 6

    Passo 3

  3. A intersecção de duas superfícies deve gerar um caminho e é nele que iremos caminhar. Mas qual é o caminho?
  4. A intersecção nos da

    z = 2 x 2

    Logo teremos

    r → t = t , t , 2 t 2

    com t   ∈ 0,1

    ∫ A B f → ⋅ d r → = ∫ 0 1 f → r → t ⋅ d r → t = ∫ 0 1 6 t 3 , 8 t 3 , 2 t 2 ⋅ d t , d t , 4 t d t

    Logo teremos

    ∫ 0 1 22 t 3 d t = 11 2 t 4 0 1 = 11 2

    Passo 4

  5. Por fim o poligonal A C B onde C = ( 3,3 , 1 )

Assim teremos na verdade duas retas formando nosso caminho. No seguimento A C , temos r → t = ( 3 t , 3 t , t ) e no seguimento C B temos r → t = 3 - 2 t , 3 - 2 t , 2 - t

Assim podemos dividir nossa integral em duas partes e fazemos primeiro pra A C

∫ A C f → ⋅ d r → = ∫ 0 1 f → r → t ⋅ d r → t = ∫ 0 1 9 t 2 , 12 t 2 , 18 t 2 ⋅ 3 d t , 3 d t , d t

Assim ficamos com

∫ 0 1 153 t 2 d t = 153 t 3 3 0 1 = 153 3 = 51

E para C B teremos

∫ 0 1 f → r → t ⋅ d r → t = ∫ 0 1 3 ( 3 - 2 t ) ( 1 + t ) , 4 ( 3 - 2 t ) ( 1 + t ) , 2 3 - 2 t 2 ⋅ - 2 d t , - 2 d t , d t

Que de maneira resumida nos da

∫ 0 1 f → r → t ⋅ d r → =   - 55

Ficando com o valor da nossa integral em - 4

Resposta

  1. 6
  2. 11/2
  3. - 4

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