Enunciado

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Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ x 5 e x 2 d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u =   x 4 ;

d u = 4 x 3 d x ;

d v = x e x 2 d x ;

v = x e x 2 d x = 1 2 e x 2 .

∫ x 5 e x 2 d x = ∫ x 4 ⋅ x ⋅ e x 2 d x

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = x 4 ⋅ 1 2 e x 2 - ∫ 1 2 e x 2 ⋅ 4 x 3   d x

Passo 2

Devemos aplicar outra integral por partes:

u =   x 2 ;

d u = 2 x   d x ;

d v = x e x 2 d x ;

v = ∫ x e x 2 d x = 1 2 e x 2 .

∫ u d v = x 4 ⋅ 1 2 e x 2 - ∫ 1 2 e x 2 ⋅ 4 x 3   d x

∫ u d v = x 4 ⋅ 1 2 e x 2 - 2 x 2 ⋅ 1 2 e x 2 - ∫ 1 2 e x 2 ⋅ 2 x   d x

∫ u d v = x 4 ⋅ 1 2 e x 2 - 2 ⋅ x 2 ⋅ 1 2 e x 2 + e x 2

∫ u d v = x 4 2 e x 2 - x 2 e x 2 + e x 2

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

x 4 2 e x 2 - x 2 e x 2 + e x 2 + c

Resposta

x 4 2 e x 2 - x 2 e x 2 + e x 2 + c

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