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Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ ln ⁡ ( x 2 + 1 ) d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = ln ⁡ ( x 2 + 1 ) ;

d u = 2 x x 2 + 1 d x ;

d v = d x ;

v = ∫ d x = x .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = ln ⁡ ( x 2 + 1 ) ⋅ x - ∫ x ⋅ 2 x x 2 + 1 d x

∫ u d v = x ⋅ ln ⁡ x 2 + 1 - 2 ∫ 1 - 1 x 2 + 1 d x

∫ u d v = x ⋅ ln ⁡ x 2 + 1 - 2 x - a r c t g   x

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

x ⋅ ln ⁡ x 2 + 1 - 2 x - a r c t g   x + c

Resposta

x ⋅ ln ⁡ x 2 + 1 - 2 x - a r c t g   x + c

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