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São dadas uma função f e um intervalo fechado a ,   b . Determine se o teorema do valor intermediário se aplica para o valor de k dado. Se o teorema for aplicável, ache um número c tal que f c = k . Caso contrário, explique porquê. Faça um esboço da curva e da reta y = k .

f x = 4 x + 2 ;           a ,   b = - 3 ,   1 ;           k = 1 2

Passo 1

Essa é uma questão para treinarmos a aplicação do teorema do valor intermediário (TVI). Para que o teorema seja aplicável a função f deve ser contínua no intervalo fechado [ a ,   b ] . Se essa hipótese for satisfeita, então para todo k entre f ( a ) e f ( b ) existirá um c ∈ [ a ,   b ] tal que f c = k .

Devemos então verificar se f é contínua e se k está entre f ( a ) e f ( b ) . Caso essas duas condições sejam satisfeitas, devemos procurar c tal que f c = k .

A função f x = 4 x + 2 é descontínua em x = - 2 que é um dos pontos do intervalo [ - 3 ,   1 ] . Assim, como f não é contínua no intervalo, o TVI não é aplicável!

Note que isso não significa que não existe c no intervalo tal que f c = k = 1 / 2 , significa apenas que não podemos usar o teorema para garantir que ele exista...

Passo 2

Se tentarmos achar c tal que f c = 1 / 2 , encontraremos:

4 c + 2 = 1 2 ⇒ c + 2 = 8 ⇒ c = 6

Mas note que 6 não está no intervalo [ - 3 ,   1 ] , de modo que neste caso, não existe c tal que f c = k .

Passo 3

O gráfico de f nesse intervalo e da reta y = 1 / 2 :

Resposta

O TVI não é aplicável.

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