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São dadas uma função f e um intervalo fechado a ,   b . Determine se o teorema do valor intermediário se aplica para o valor de k dado. Se o teorema for aplicável, ache um número c tal que f c = k . Caso contrário, explique porquê. Faça um esboço da curva e da reta y = k .

f x = x 2 + 5 x - 6 ;           a ,   b = - 1 ,   2 ;           k = 4

Passo 1

Essa é uma questão para treinarmos a aplicação do teorema do valor intermediário (TVI). Para que o teorema seja aplicável a função f deve ser contínua no intervalo fechado [ a ,   b ] . Se essa hipótese for satisfeita, então para todo k entre f ( a ) e f ( b ) existirá um c ∈ [ a ,   b ] tal que f c = k .

Devemos então verificar se f é contínua e se k está entre f ( a ) e f ( b ) . Caso essas duas condições sejam satisfeitas, devemos procurar c tal que f c = k .

Temos que f é um polinômio de segundo grau (que é contínuo em todo parte). Assim, f é contínua no intervalo [ - 1 ,   2 ] . Além disso, f - 1 = - 10 e f 2 = 8 , de modo que k = 4 está entre o valor da função nos extremos do intervalo: então vale o TVI!

Passo 2

Como o teorema é válido, vamos procurar o valor de c fazendo f c = k = 4 :

c 2 + 5 c - 6 = 4 ⇒ c 2 + 5 c - 10 = 0

Assim,

c = - 5 ± 65 2

No intervalo [ - 1 ,   2 ] apenas o sinal + deve ser considerado, de modo que

c = - 5 + 65 2

Passo 3

O gráfico de f nesse intervalo e da reta y = 4 :

Resposta

O TVI é aplicável e c = - 5 + 65 2 .

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