Enunciado

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São dadas uma função f e um intervalo fechado a ,   b . Determine se o teorema do valor intermediário se aplica para o valor de k dado. Se o teorema for aplicável, ache um número c tal que f c = k . Caso contrário, explique porquê. Faça um esboço da curva e da reta y = k .

f x = 1 + x ,       s e - 4 ≤ x ≤ - 2 2 - x ,             s e - 2 < x ≤ 1 ;           a ,   b = - 4 ,   1 ;           k = 1 2

Passo 1

Essa é uma questão para treinarmos a aplicação do teorema do valor intermediário (TVI). Para que o teorema seja aplicável a função f deve ser contínua no intervalo fechado [ a ,   b ] . Se essa hipótese for satisfeita, então para todo k entre f ( a ) e f ( b ) existirá um c ∈ [ a ,   b ] tal que f c = k .

Devemos então verificar se f é contínua e se k está entre f ( a ) e f ( b ) . Caso essas duas condições sejam satisfeitas, devemos procurar c tal que f c = k .

Como f é definida por partes, vamos ver se ela é contínua em x = - 2 que é o ponto de “colagem”. Para isso, vamos tomar os limites laterais:

lim x → - 2 - ⁡ f ( x ) = lim x → - 2 ⁡ 1 + x = 1 + - 2 = - 1

lim x → - 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → - 2 ⁡ 2 - x = 2 - - 2 = 4

Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe e, portanto, f é descontínua nesse ponto. Como x = - 2 está no intervalo [ - 4 ,   1 ] , o TVI não vale nessa situação: não podemos garantir a existência de c .

Passo 2

Se tentarmos achar c tal que f c = 1 / 2 temos que separar em duas expressões:

1 + c = 1 2       p a r a   c ∈ [ - 4 ,   - 2 ]

2 - c = 1 2           p a r a     c ∈ ( - 2 ,   1 ]

No primeiro caso, obtemos c = - 1 / 2 , que não está no intervalo [ - 4 ,   - 2 ] , enquanto no segundo obtemos c = 3 / 2 , que também não está no intervalo ( - 2 ,   1 ] . Assim, não existe c ∈ [ - 4 ,   1 ] tal que f c = k .

Passo 3

O gráfico de f nesse intervalo e da reta y = 1 / 2 :

Resposta

O TVI não é aplicável.

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