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São dadas uma função f e um intervalo fechado a ,   b . Determine se o teorema do valor intermediário se aplica para o valor de k dado. Se o teorema for aplicável, ache um número c tal que f c = k . Caso contrário, explique porquê. Faça um esboço da curva e da reta y = k .

f x = 25 - x 2 ;           a ,   b = - 4.5 ,   3 ;           k = 3

Passo 1

Essa é uma questão para treinarmos a aplicação do teorema do valor intermediário (TVI). Para que o teorema seja aplicável a função f deve ser contínua no intervalo fechado [ a ,   b ] . Se essa hipótese for satisfeita, então para todo k entre f ( a ) e f ( b ) existirá um c ∈ [ a ,   b ] tal que f c = k .

Devemos então verificar se f é contínua e se k está entre f ( a ) e f ( b ) . Caso essas duas condições sejam satisfeitas, devemos procurar c tal que f c = k .

A função f x = 25 - x 2 é contínua em todos os pontos de seu domínio. Vamos achar o domínio de f :

25 - x 2 ≥ 0 ⇒ - 5 ≤ x ≤ 5

Como o intervalo [ - 4.5 ,   3 ] está inteiramente contido entre - 5 e 5 , f é contínua nele! Além disso, f 4.5 ≈ 2.18 e f 3 = 4 . Assim, k = 3 está entre f ( a ) e f ( b ) , de modo que vale o teorema.

Passo 2

Como o teorema é válido, vamos procurar o valor de c fazendo f c = k = 3 :

25 - c 2 = 3 ⇒ 25 - c 2 = 9 ⇒ c = ± 4

Como + 4 não está no intervalo [ - 4.5 ,   3 ] mas o - 4 está, temos que

c = - 4

Passo 3

O gráfico de f nesse intervalo e da reta y = 3 :

Resposta

O TVI é aplicável e c = - 4 .

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