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Qual das seguintes alternativas expressa 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32

  1. ∑ k = 1 6 ( - 2 ) k - 1

  2. ∑ k = 0 5 - 1 k 2 k

∑ k = - 2 3 ( - 1 ) k + 1 2 k + 2

Passo 1

Temos que identificar qual ou quais alternativas equivalem à expressão

1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 .

Passo 2

Vamos então analisar as alternativas, começando pela (a)

∑ k = 1 6 ( - 2 ) k - 1

Vamos fazer para k=1 (pois k começa por 1 nessa somatória, como é indicado na expressão)

( - 2 ) 1 - 1 = 1

O primeiro termo confere, agora vamos dar uma olhadinha no segundo:

( - 2 ) 2 - 1 = - 2

O segundo termo também confere. Vamos checar mais um:

( - 2 ) 3 - 1 = 4

OPA! A gente pode identificar um padrão aí. Olha só, cada termo corresponde a uma potencia de 2, quer dizer, se todos os números fossem positivos, o primeiro termo é 2 elevado a potência 0, o segundo a potência 1, o terceiro é 2 elevado a potência 2, e assim segue, mas tem um detalhe, existe uma oscilação, quero dizer, cada termo tem o sinal oposto ao anterior, isso acontece porque o número na base é negativo, e o expoente varia, e quando o expoente for ímpar o resultado é negativo, tal como se o expoente for par o resultado é positivo.

Por esse raciocínio podemos ver que a somatória da alternativa (a) representa aquela expressão, porque note que essa somatória equivale a:

2 0 - 2 1 + 2 2 - 2 3 + 2 4 - 2 5

Que equivale a:

1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32

Podemos concluir que a alternativa (a) representa a expressão.

Passo 3

Agora é a vez da alternativa (b)

∑ k = 0 5 - 1 k 2 k

O primeiro termo, onde k=0 é ( - 1 ) 0 ⋅ 2 0 = 1 , confere. O segundo é ( - 1 ) 1 ⋅ 2 1 = - 2 . OPA! Parece que o padrão anterior se repete.

Olhando com força de vontade para essa expressão vemos que nessa somatória cada termo também é uma potência de 2 maior que a anterior em modulo, e o padrão de oscilação se repete, pois novamente temos um número negativo na base e uma potência que oscila entre números pares e números ímpares.

Assim essa somatória representa:

2 0 - 2 1 + 2 2 - 2 3 + 2 4 - 2 5

Que equivale a:

1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32

Olha só, a alternativa (b) também representa.

Passo 4

Agora falta só a alternativa (c).

∑ k = - 2 3 ( - 1 ) k + 1 2 k + 2

Olha só, já de cara a gente vê que os termos são oscilatórios, tem ali um número negativo na base e um expoente que varia entre números pares e ímpares. Mas só isso não é suficiente pra concluir se essa somatória equivale ou não a expressão.

Vejamos, o primeiro termo é - 1 - 2 + 1 ⋅ 2 - 2 + 2 = - 1 ⋅ 1 = - 1 . Olha só, o primeiro termo já elimina essa alternativa.

Mas é interessante notar como essa somatória também tem cada termo em módulo como uma potência de 2 maior que a anterior. A diferença aqui é o padrão de oscilação.

- 2 0 + 2 1 - 2 2 + 2 3 - 2 4 + 2 5

Diferente das outras a alternativa (c) não representa a expressão.

Resposta

As alternativas (a) e (b) expressam.

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