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Qual das seguintes funções cresce mais rapidamente do que ln ⁡ x   quando x → ∞ ? Qual cresce à mesma taxa que ln ⁡ x ? E qual cresce mais lentamente?

  1. log 3 ⁡ x
  2. ln ⁡ 2 x
  3. ln ⁡ x
  4. x
  5. x
  6. 5 ln ⁡ x  
  7. 1 x
  8. e x

Passo 1

Bom, o enunciado pele para verificar quais funções crescem mais rapidamente que ln ⁡ x   quando x → ∞ ? Quais crescem à mesma taxa que ln ⁡ x   ? E quais crescem mais lentamente?

Para isso, vamos precisar lembrar da definição das taxas relativas de crescimento

Taxas de crescimento quando x → ∞

Sejam f ( x ) e g ( x ) positivas para um x suficientemente grande.

  1. f cresce mais rapidamente do que g quando x → ∞ se
  2. lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) =   ∞

    ou, de modo equivalente, se

    lim x → ∞ ⁡ g ( x ) f ( x ) =   0

    Dizemos também que g cresce mais lentamente do que f quando x → ∞ .

  3. f e g crescem à mesma taxa quando x → ∞

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) =   L

onde L é finito e positivo.

  1. O item a, pede para verificar a função log 3 ⁡ x   em relação a ln ⁡ x . Vamos verificar:
  2. lim x → ∞ ⁡ log 3 ⁡ x ln ⁡ x

    lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x   ln ⁡ 3 ln ⁡ x

    lim x → ∞ ⁡   1 ln ⁡ 3     =     1 ln ⁡ 3  

    Logo, o item a, cresce à mesma taxa que ln ⁡ x  

    Passo 2

  3. Vamos calcular o limite:
  4. lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x ln ⁡ x  

    =   lim x → ∞ ⁡ 2 2 x 1 x = 1

    Logo, o item b, cresce à mesma taxa que ln ⁡ x  

    Passo 3

  5. Vamos verificar:
  6. lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ x

    Vamos aplicar a raiz em todo o limite:

    lim x → ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ x   ln ⁡ x   = lim x → ∞ ⁡ 1 2 = 1 2

    Logo, o item c, cresce à mesma taxa que ln ⁡ x  

    Passo 4

  7. Vamos verificar:
  8. lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x  

    lim x → ∞ ⁡ x 1 2 ln ⁡ x  

    lim x → ∞ ⁡ 1 2 x - 1 2 1 x

    lim x → ∞ ⁡ x 2 x = l i m x → ∞ x 2 =   ∞

    Portanto cresce mais rapidamente

    Passo 5

  9. Vamos verificar:
  10. lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x   =   lim x → ∞ ⁡ 1 1 x = lim x → ∞ ⁡ x = ∞  

    Logo, o item e, cresce mais rapidamente

    Passo 6

  11. Vamos verificar:
  12. lim x → ∞ ⁡ 5   l n x   ln ⁡ x   =   lim x → ∞ ⁡ 5 = 5

    Logo, o item f, cresce à mesma taxa

    Passo 7

    Vamos verificar:

  13. lim x → ∞ ⁡ 1 x ln ⁡ x   =   lim x → ∞ ⁡ 1 x ln ⁡ x   = 0
  14. Logo, o item g, cresce mais lentamente

    Passo 8

  15. Verificando, temos:

lim x → ∞ ⁡ e x ln ⁡ x   =   lim x → ∞ ⁡ e x 1 x  

lim x → ∞ ⁡ x e x =   ∞

Portanto, o item h, cresce mais rapidamente

Resposta

Crescem mais lentamente: g

Crescem mais rapidamente: d,e, h

Crescem à mesma taxa: a,b,c, f

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