Enunciado

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Seja [ a , b ] qualquer intervalo tal que a < 0 < b . Prove que mesmo que a função escada unitária (Exercício 24 nos Exercícios 2.3) seja descontínua em [ a , b ] , ela será integrável nesse intervalo e ∫ a b u x d x = b .

Passo 1

Vamos lembrar que a função escada é dada por:

u x = 0         s e   x < 0 1         s e   0 ≤ x

Perceba que se x < 0 , então u x = 0 e se x ≥ 0 , então u x = 1 . Dessa forma, podemos calcular a integral a separando em duas no ponto onde ela é descontínua, ou seja, x = 0 .

∫ a b u x d x = ∫ a 0 u x d x + ∫ 0 b u x d x = ∫ a 0 0 d x + ∫ 0 b 1 d x

= x 0 b = b - 0 = b

Portanto, mesmo a função sendo descontínua, ela será integrável e sua integral será:

∫ a b u x d x = b

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