Enunciado

Seja h x =   | x | x ,     s e   x ≠ 0 0 ,         x = 0

Mostrar que h ( x ) não tem limite no ponto 0 .

Passo 1

Queremos analisar as extremidades ao redor de 0 e em 0 , logo temos que calcular um limite para x → 0 e seus limites laterais, x → 0 + e x → 0 - .

Para o limite dado de x → 0 + , estamos analisando a função da direita para a esquerda ao longo do eixo x , logo estamos analisando os valores para x > 0 . Levando essa análise para a função, temos que para números x ≠ 0 , ela é dada por:

h x = | x | x

Então, para x > 0 ⇒ | x | x = x x = 1 .

Assim, podemos escrever que:

lim x → 0 + ⁡ h x = lim x → 0 + ⁡ x x = 1

Passo 2

Para o limite dado de x → 0 - , estamos analisando a função da esquerda para a direita ao longo do eixo x , logo estamos analisando os valores para x < 0 . Levando essa análise para a função, temos que para números x ≠ 0 , ela é dada por:

h x = | x | x

Então, para x < 0 ⇒ x x = - x x = - 1 .

Assim, podemos escrever que:

lim x → 0 - ⁡ h x = lim x → 0 - ⁡ - x x = - 1

Passo 3

Como lim x → 0 - ⁡ h x = - 1 e lim x → 0 + ⁡ h x = 1 , concluímos que o limite de lim x → 0 ⁡ h x     não existe.

lim x → 0 ⁡ h x ∄

Essa afirmação pode ser feita devido a definição do seguinte Teorema:

Se f é definida em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente no ponto a , então

lim x → a ⁡ f x = L     s e   e   s o m e n t e   s e   lim x → a + ⁡ f x = L   e   lim x → a - ⁡ f x = L .

Como os limites laterais são diferentes o limite para x → 0 não existe.

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