Enunciado

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Seja ϵ > 0 um real dado. Prove que quaisquer que sejam os reais positivos x e y , tem-se:

x - y < ϵ 2 ⇒ x - y < ϵ

Passo 1

Conforme o exercício anterior, se 0 < x < y , então:

y - x < y - x

Da mesma forma, se tivermos 0 < y < x , então:

x - y < x - y

Como não sabemos aqui se x > y ou x < y , a inequação que representa os dois casos será:

x - y < x - y

Passo 2

Além disso, temos como hipótese:

x - y < ϵ 2

x - y < ϵ

Portanto, temos:

x - y < x - y < ϵ

Logo, a hipótese implica:

x - y < ϵ

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