Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 4.4 - Ex. 90

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Seja

f x = x x ,     x ≠ 0 1 ,     x = 0

a) Mostre que f é contínua em 0 .

b) Pesquise graficamente se f é derivável em 0 por meio de sucessivos zooms em direção ao ponto 0,1 no gráfico de f .

c) Mostre que f não é derivável em 0 .

Passo 1

Basicamente, o que o exercício pede é que mostremos que a função é contínua mas não derivável em x = 0 . Apesar disso, no item (b) devemos fazer uma análise baseada na visualização do gráfico: se a função for derivável, ela deve ser contínua e suave. Para isso, damos zoom em torno do ponto de interesse e analisamos como a função se comporta.

Passo 2

Para que a função seja contínua em um ponto, o valor da função neste ponto deve coincidir com o valor do limite. Note que f 0 = 1 . Para tomarmos o limite quando x → 0 , devemos tomar x ≠ 0 , de modo que f x = x x . Assim,

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = lim x → 0 ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ e x ln ⁡ | x | = e lim x → 0 ⁡ x ln ⁡ x

Desta forma, o limite que demos calcular é

lim x → 0 ⁡ x ln ⁡ x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 1 x

Este limite é indeterminado do tipo ∞ / ∞ . Assim, aplicando a regra de L’Hospital:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 1 x = lim x → 0 ⁡ 1 x ⋅ x ' - 1 / x 2 = lim x → 0 ⁡ - x 2   x ' | x |

Fazemos separar em limites laterais:

lim x → 0 + ⁡ - x 2   x ' | x | = lim x → 0 + ⁡ - x 2 ⋅ 1 x = lim x → 0 + ⁡ - x = 0

lim x → 0 - ⁡ - x 2   x ' | x | = lim x → 0 - ⁡ - x 2 ⋅ ( - 1 ) - x = lim x → 0 + ⁡ - x = 0

Como os limites laterais são iguais,

lim x → 0 ⁡ - x 2   x ' | x | = 0

Desta forma, lim x → 0 ⁡ f ( x ) = e 0 = 1 = f ( 0 ) . Portanto f é contínua em x = 0 .

Passo 3

Fazendo sucessivos zooms no gráfico da função, ela aparenta ser derivável em x = 0 :

Passo 4

Vimos que a função aparenta ser derivável em x = 0 , porém agora vamos mostrar que ela não é!!!

Vamos tentar calcular f ' ( 0 ) pela definição:

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - f ( 0 ) x - 0 = lim x → 0 ⁡ x x - 1 x

Como lim x → 0 ⁡ x x = 1 , o limite é indeterminado do tipo 0/0. Vamos aplicar a regra de L’Hospital. A derivada do numerador será

x x - 1 ' = x x ' = e x ln ⁡ x ' = e x ln ⁡ x ⋅ x ln ⁡ x ' = x x ⋅ x ln ⁡ x '

Por outro lado:

x ln ⁡ x ' = ln ⁡ | x | + x x ⋅ x '

Assim,

x x - 1 ' = x x   ln ⁡ x + x x ⋅ x '

Desta forma,

lim x → 0 ⁡ x x - 1 x = lim x → 0 ⁡ x x   ln ⁡ x + x x ⋅ x '

Quando x → 0 , x x → 1 , ln ⁡ | x | → - ∞ , x x → ± 1 e x ' → ± 1 . Assim, é possível perceber que o limite vai explodir:

lim x → 0 ⁡ x x   ln ⁡ x + x x ⋅ x ' = 1 ⋅ - ∞ + ± 1 ⋅ ± 1 = - ∞

Por isso, f não é derivável em x = 0 pois tem tangente vertical nesse ponto (por isso parecia que ela era derivável: ela é suave e admite reta tangente, mas a tangente é vertical).

Resposta

a) Demonstração.

b) Análise gráfica.

c) Demonstração.

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