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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - 12.1 - 33

Seja f x , y =   x 3 x 2 + y 2 0 ,   s e   x , y = ( 0,0 ) ,   s e   x , y ≠ ( 0,0 )

  1. Verifique que f t x ,   t y = t f x , y , para todo x e y .
  2. Olhe para a questão e responda: f é diferenciável em ( 0,0 ) ?Por quê ?

Passo 1

Vamos por partes, beleza? Ou seja, vamos fazer primeiro o item a e dpois b. Simbora, homi!

Como desejamos mostrar para quaisquer x e y , temos que verificar no casos em que a função esta repartida, ou seja:

  1. Se x , y = ( 0,0 )
  2. f t ⋅ 0 ,   t ⋅ 0 = t ⋅ 0 = t f 0 ,   0

  3. Se x , y ≠ ( 0,0 )

f t x ,   t y = t 3 ⋅ x 3 t 2 y 2 + t 2 x 2 = t 2 ⋅ t ⋅ x 3 t 2 y 2 + x 2 = t ⋅ x 3 y 2 + x 2 = t ⋅ f x ,   y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

f não é diferenciável em 0,0 , pois se observarmos, não conseguiremos adaptar essa função para uma função linear, já que suas derivadas parciais em 0,0 são nulas, então pela contrapositiva da questão anterior, como f é 1-homogenea, segue que não é diferenciável.

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