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(a) Seja a 1 = a , a 2 = f a , a 3 = f a 2 , . . . , a n + 1 = f a n , onde f é uma função contínua. Se l i m n → ∞   a n = L , mostre que f L = L .

(b) Ilustre a parte (a) tomando f x = cos ⁡ x , a = 1 , e estimando o valor de L com precisão de cinco casas decimais.

Passo 1

(a) Pessoal, aqui temos uma sequência definida por recorrência do seguinte modo:

a 1 = a   ,           a n + 1 = f a n

sendo f uma função contínua.

Para mostrar que f L = L , vamos tomar o limite dos dois lados na equação que define a sequência:

a n + 1 = f a n

l i m n → ∞   a n + 1 = l i m n → ∞   f a n

Como a função f é contínua, podemos usar uma propriedade de limite assim:

l i m n → ∞   a n + 1 = f l i m n → ∞   a n

Além disso, também temos, para sequências convergentes:

l i m n → ∞   a n + 1 = l i m n → ∞   a n

Então chegamos a:

l i m n → ∞   a n = f l i m n → ∞   a n

Mas o próprio enunciado nos disse que l i m n → ∞   a n = L , então:

L = f L

Como queríamos mostrar!

Passo 2

(b) Se tivéssemos f x = cos ⁡ x , com a = 1 nossa sequência seria mais ou menos assim:

1 , cos ⁡ 1 , cos ⁡ ( cos ⁡ 1 ) , cos ⁡ ( cos ⁡ ( cos ⁡ 1 ) ) ,   …

Pra descobrirmos o limite L dessa sequência, temos que resolver a seguinte equação:

L = f L

L = c o s ⁡ ( L )

Com o auxílio de um computador, achamos:

L = 0,73909

Resposta

1 , cos ⁡ 1 , cos ⁡ ( cos ⁡ 1 ) , cos ⁡ ( cos ⁡ ( cos ⁡ 1 ) ) ,   …

L = 0,73909

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