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Exercícios Resolvidos de Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - 12.1 - 24

Seja F x , y , z = f x y , y z , z x . Mostre que

x ∂ F ∂ x + y ∂ F ∂ y + z ∂ F ∂ z = 0

Passo 1

A questão fornece uma função F que satisfaz a seguinte propriedade:

F x , y , z = f x y , y z , z x

E pede para mostramos que

x ∂ F ∂ x + y ∂ F ∂ y + z ∂ F ∂ z = 0

Para isso, vamos a regra da cadeia. Mas antes disso, precisamos reescrever:

f x y , y z , z x = f ( u , v , w )

Com

u = x y ,   v = y z   e   w = z x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de F pela regra da cadeia:

∂ F ∂ x = ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ w ⋅ ∂ w ∂ x

∂ F ∂ y = ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ⋅ ∂ v ∂ y

∂ F ∂ z = ∂ f ∂ v ⋅ ∂ v ∂ z + ∂ f ∂ w ⋅ ∂ w ∂ z

Mas como u = x / y :

∂ u ∂ x = 1 y     e   ∂ u ∂ y = - x y 2

Já para v = y / z :

∂ v ∂ y = 1 z     e   ∂ v ∂ z = - y z 2

E para w = z / x :

∂ w ∂ z = 1 x       e     ∂ w ∂ x = - z x 2

Assim, teremos

∂ F ∂ x = 1 y ⋅ ∂ f ∂ u - z x 2 ⋅ ∂ f ∂ w

∂ F ∂ y = - x y 2 ⋅ ∂ f ∂ u + 1 z ⋅ ∂ f ∂ v

∂ F ∂ z = - y z 2 ⋅ ∂ f ∂ v + 1 x ⋅ ∂ f ∂ w

Passo 3

Agora que temos as derivadas parciais de F podemos partir para a expressão:

I = x ∂ F ∂ x + y ∂ F ∂ y + z ∂ F ∂ z

Substituindo as derivadas calculadas no passo anterior:

I = x y ⋅ ∂ f ∂ u - z x ⋅ ∂ f ∂ w - x y ⋅ ∂ f ∂ u + y z ⋅ ∂ f ∂ v - y z ⋅ ∂ f ∂ v + z x ⋅ ∂ f ∂ w = 0

Portanto, provamos que

x ∂ F ∂ x + y ∂ F ∂ y + z ∂ F ∂ z = 0

Resposta

Demonstração.

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