Enunciado

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Seja f x = x 3 - 3 x 2 - 9 x . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é uma função polinomial, logo é contínua e derivável para todo x real. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 3 x 2 - 3.2 x - 9 ⇒

f ' x = 3 x 2 - 6 x - 9

Como f ' ( x ) existe para todos valores de x , os pontos críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

3 x 2 - 6 x - 9 = 0 ⇒

x = - ( - 6 ) ± - 6 2 - 4 3 - 9 2 ( 3 ) ⇒

x = 6 ± 36 + 108 6 ⇒

x = 6 ± 144 6 ⇒

x = 6 ± 12 6

Logo:

x = 6 + 12 6 = 18 6 = 3

Ou:

x = 6 - 12 6 = - 6 6 = - 1

Assim os pontos críticos de f ocorrem quando x = - 1 ou x = 3 .

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo em x = - 1 ou x = 3 devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:

→ x < - 1 :

f ' x > 0 e f é crescente.

→ - 1 < x < 3 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ x > 3 :

f ' x > 0 e f é crescente.

Logo, pelo teste da primeira derivada, em x = - 1 temos um ponto de máximo relativo e em x = 3 temos um ponto de mínimo relativo de f .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = x 3 - 3 x 2 - 9 x . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = x 3 - 3 x 2 - 9 x é crescente no intervalo ( - ∞ ,   - 1 ) e ( 3 ,   + ∞ ) , decrescente no intervalo ( - 1 ,   3 ) , admite mínimo relativo em x = 3 e máximo relativo em x = - 1 .

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Demonstre que quando x → ∞ , e x cresce mais rapidamente que x 2 para
Se f for crescente em um intervalo 0 ,   b , segue da Definição 4
53-54. Em cada parte, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Verifique que. d d x x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 = x 2 arcsen
Verifique que. d d x x arctg ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 = arctg ⁡ x
Verifique que. d d x 27 x 2 + 6 x - 1 x - 3 arcsen ⁡ 1 - 3 x 6 x = 1 x
Seja f x = x + x 3 .Mostre que f admite função inversa g Expresse g '
Use o gráfico de f ' ( x ) na figura seguir para substituir a interrog
Seja f x = x 2 - 4 x - 1 . Faça o seguinte:Ache os extremos relativos
Seja f x = 3 x 2 - 3 x + 2 . Faça o seguinte:Ache os extremos relativo
Seja f x = 2 cos ⁡ 3 x Faça o seguinte:Ache os extremos relativos de f
Seja f x = x 5 - 5 x 3 - 20 x - 2 . Faça o seguinte:Ache os extremos r