Enunciado

Seja y = f ( x ) uma curva lisa no intervalo a , b e suponha que f x ≥ 0 com a ≤ x ≤ b . Pelo Teorema do Valor Extremo (4.4.2), a função f tem um valor máximo K e um valor mínimo k em [ a , b ] . Prove: Se L for o comprimento de curva y = f ( x ) entre x = a e x = b , e se S for a área da superfície gerada quando essa curva gira em torno do eixo x , então

2 π k L ≤ S ≤ 2 π K L

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove que:

2 π k L ≤ S ≤ 2 π K L

Precisamos usar essa fórmula aqui para fazer essa prova:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

E precisamos lembrar que o comprimento do arco tem essa cara:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Vamos refletir!

Passo 2

Pelo Teorema que é mencionado no enunciado:

k ≤ f x ≤ K

Se a gente multiplicar tudo por 2 π 1 + f ' x 2 :

2 π k 1 + f ' x 2 ≤ 2 π f x 1 + f ' x 2 ≤ 2 π K 1 + f ' x 2

Se integrarmos tudo:

∫ a b 2 π k 1 + f ' x 2 d x ≤ ∫ a b 2 π f ( x ) 1 + f ' x 2 d x ≤ ∫ a b 2 π K 1 + f ' x 2 d x

Tirando as constantes da integrais:

2 π k ∫ a b 1 + f ' x 2 d x ≤ 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x ≤ 2 π K ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Repara que apareceram nossas relações lá do primeiro passo!

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

E nossas inequações ficam:

2 π k L ≤ S ≤ 2 π K L

Que é exatamente o que precisamos provar!

Resposta

Prova desenvolvida nos passos.

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