Enunciado

Seja y = f ( x ) uma curva suave em [ a , b ] e suponha que f x ≥ 0 com a ≤ x ≤ b . Sejam A a área sob a curva y = f ( x ) entre x = a e x = b e S a área da superfície gerada quando essa seção da curva gira em torno do eixo x .

  1. Prove que 2 π A ≤ S .
  2. Para quais funções f é 2 π A = S ?

Passo 1

(a) Queremos provar que:

2 π A ≤ S

Lembrando que:

A = ∫ a b f ( x )   d x

E:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

A ideia quando queremos provar algo assim é a gente usar essas equações para chegar na inequação do enunciado. Vamos começar!

Passo 2

A inequação que a gente quer provar é:

2 π A ≤ S

Se a gente abrir ela, substituindo as expressões de A e S :

2 π ∫ a b f ( x )   d x ≤ 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x

A única diferença entre os lados da inequação é a raiz quadrada. Como temos 1 + f ' x 2 , ou seja, um termo sempre positivo mais um, podemos dizer que:

1 ≤ 1 + f ' x 2

Se a gente multiplicar os dois lados por 2 π f ( x ) e integrar de a a b :

2 π ∫ a b f ( x )   d x ≤ 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x

2 π A ≤ S

Chegamos exatamente na equação que queríamos provar!

Passo 3

(b) Vamos olhar para nossa inequação:

2 π ∫ a b f ( x )   d x ≤ 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x

A único jeito dos dois lados serem iguais é se o valor da raiz for 1 :

1 + f ' x 2 = 1 ∴ 1 + f ' x 2 = 1 ∴ f ' x = 0

O que diz para gente que para:

2 π A = S

f ' x = 0

Resposta

(a) Prova desenvolvida nos passos.

(b) f ' x = 0

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