Enunciado

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Seja f : - 1,1 → R dada por f x = x 2 + x 1 + x 2 .

a) Prove que f 1 é o valor máximo de f .

b) Prove que existe x 1 ∈   ] - 1,0 [ tal que f x 1 é o valor mínimo de f .

Passo 1

  1. Pelo intervalo dado, temos que o maior valo que função pode assumir é 1 , então vamos calcular f 1 e verificar se esse é o valor máximo

Temos que f 1 é dado por:

f 1 = 1 2 + 1 1 + 1 2 = 2 2 = 1

E temos que no intervalo - 1,1 temos:

x ≤ 1

Somando x 2 nos dois lados:

x + x 2 ≤ 1 + x 2

Assim:

x 2 + x 1 + x 2 ≤ 1

Então, no intervalo - 1,1 , o valor máximo que x 2 + x 1 + x 2 pode assumir é 1 , e como f 1 = 1 , provamos que f 1 é o valor máximo de f .

Passo 2

b) Agora queremos o contrário! Então vamos substituir os extremos e achar o valor mínimo.

Temos que

f - 1 = - 1 2 + - 1 1 + - 1 2 = 0 2 = 0

f - 1 = 0

E

f 0 = 0 2 + 0 1 + 0 = 0 1 = 0

f 0 = 0

Para x ∈ - 1,0 , temos que x < 0 e x > 1

Assim:

x 2 + x < 0

x 2 + x 1 + x 2 < 0

Logo, se temos que f - 1 = 0 , f 0 = 0 e para x ∈ - 1,0 f x < 0 , com f contínua, concluímos que f possui valor mínimo em ] - 1,0 [ .

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 ,     x ≠ 1 1 ,     x = 1 ,               a = 1
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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )
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Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles? Esboce o gráfico de f . f x = 1 + x 2 ,                    ...
Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles? Esboce o gráfico de f . f x = x + 1 ,                      ...
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Diga se a função representada graficamente é contínua em [1,3]. Em caso negativo, onde ela deixa de ser contínua e por quê?
Diga se a função representada graficamente é contínua em [1,3]. Em caso negativo, onde ela deixa de ser contínua e por quê?
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