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Seja f contínua em a ,   b e tal que f   a <   f   b . Suponha que quaisquer que sejam s e t em a ,   b , s ≠   t   ⇒   f   s ≠ f   t . Prove que f é estritamente crescente em a ,   b .

(Observação: f estritamente crescente em a ,   b   ⇔   ∀   s ,   t em a ,   b ,   s < t ⇒ f s < f t .)

Passo 1

Temos no intervalo a ,   b que f   a <   f   b , ou seja, para a < b ⇒ f a < f a .

Como para s ≠   t   ⇒   f   s ≠ f   t , a função f deve sair de f   a e chegar f b , que é um valor maior, continuamente, sem repetir nenhum valor.

Ou seja, devemos subir o valor da função, mas não podemos descer já que não existe na função f   s = f   t para s ≠   t .

Logo, f é estritamente crescente em a ,   b .

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Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,           a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 ,     x ≠ 1 1 ,     x = 1 ,               a = 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles? Esboce o gráfico de f . f x = 1 + x 2 ,                    ...
Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles? Esboce o gráfico de f . f x = x + 1 ,                      ...
Para que valores de x a função f é contínua? f x = 0                     s e   x   é   r a c i o n a l 1             s e   x   é   i r r a c i o n a l é é
Diga se a função representada graficamente é contínua em [1,3]. Em caso negativo, onde ela deixa de ser contínua e por quê?
Diga se a função representada graficamente é contínua em [1,3]. Em caso negativo, onde ela deixa de ser contínua e por quê?
Dado o gráfico a seguir, responda as perguntas abaixoQue valor deve ser atribuído a f ( 2 ) para tornar a função estendida contínua em x = 2 ?