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Seja f x = 2 cos ⁡ 3 x Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é uma função de trigonométrica, logo é contínua e derivável para todo x real. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 2 . - s e n 3 x . 3 x ' ⇒

f ' x = 2 . - s e n 3 x . 3 ⇒

f ' x = - 6 s e n 3 x

Como f ' ( x ) existe para todos valores de x , os pontos críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

- 6 s e n 3 x = 0 ⇒

s e n 3 x = 0 ⇒

Logo:

3 x = k π ,   k ∈ Z ⇒

x = k π 3 ,   k ∈ Z  

Portanto os pontos críticos existentes em f são o ponto x = k π 3 .

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo em x = k π 3 , devemos aplicar o teste da primeira derivada. Pelas propriedades das funções trigonométricas, temos que:

→ f ' x < 0 se x ∈ ( k π 3 , 3 π 6 ) . Logo f é decrescente neste intervalo;

→ f ' x > 0 se x ∈ k π 3 ,   2 k π 3 . Logo f é crescente neste intervalo.

Logo f admite mínimo relativo em x = k π 3 .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = 2 cos ⁡ 3 x . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = 2 cos ⁡ 3 x é crescente nos intervalos da forma k π 3 ,   2 k π 3 , decrescente no intervalo k π 3 , 3 π 6 e admite mínimo relativo em x = k π 3 .

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