Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Seja H o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 50   ,   z ≥ 0   , e suponha f seja uma função contínua com f 3 ,   4 ,   5 = 7 ,     f 3 ,   - 4 ,   5 = 8 ,     f - 3 ,   4 ,   5 = 9 e f - 3 ,   - 4 ,   5 = 12 . Dividindo H em quatro retalhos, estime o valor de ∫ ∫ H   f ( x ,   y ,   z )   d S .

Passo 1

Galera, nós podemos usar os planos x z e y z para dividir H em quatro pedaços de tamanhos iguais, cujas áreas de superfície serão iguais a 1 8 da área de superfície de uma esfera de raio 50 , ou seja, Δ S = 1 8   .   4 π   .   50 2 = 25 π . Então, usando a soma de Riemann, temos:

∫ ∫ H   f ( x ,   y ,   z )   d S ≈ Δ S   .   f 3 ,   4 ,   5 + Δ S   .   f 3 ,   - 4 ,   5 + Δ S   .   f - 3 ,   4 ,   5 + Δ S   .   f - 3 ,   - 4 ,   5 = 25 π 7 + 8 + 9 + 12 = 900 π ≈ 2827

Resposta

∫ ∫ H   f ( x ,   y ,   z )   d S ≈ 2827

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Mostre que as equações paramétricas x = a   s e n   u cos ⁡ u   ,   y = b   s e n   u   s e n   v   ,   z = c cos ⁡ u   ,   0 ≤ u ≤ π   ,   0 ≤ v ≤ 2 π , representam um elipsoi...
Suponha que f x ,   y ,   z = g x 2 + y 2 + z 2 , onde g é uma função de uma variável tal que g 2 = 5 . Calcule ∫ ∫ S   f x ,   y ,   z   d S , onde S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = ...
Uma superfície S é formada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1   ,   - 1 ≤ z ≤ 1   , e por círculos no fundo e no topo. Suponha que você saiba que f é uma função contínua com f ± 1 ,   0 ,...
Seja S a superfície que é fronteira da caixa delimitada pelos planos x = 0   ,   x = 2   ,   y = 0   ,   y = 4   ,   z = 0 e z = 6 . Aproxime ∫ ∫ S   e - 0,1 x + y + z   d S usando...
Determine a área da superfície.A superfície z = 2 3 x 3 2 + y 3 2 ,     0 ≤ x ≤ 1 ,       0 ≤ y ≤ 1 .
Determine a área da superfície.A parte da superfície y = 4 x + z 2 que está entre os planos x = 0 , x = 1 , z = 0 e z = 1
Determine a área da superfície.A parte do paraboloide x = y 2 + z 2 que está dentro do cilindro y 2 + z 2 = 9
Determine a área da superfície.A superfície com equações paramétricas x = u 2 , y = u v , z = 1 2 v 2 , 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ 2
11 . Calcule a área da superfície z = x 2 + y 2   compreendida entre os planos x + y = 1   ,   x + y = 2   ,   x = 0   e   y = 0
9 . Calcule a área da parte da superfície z = x 3 / 2 + y 3 / 2 ,   0 ≤ x ≤ 8 9 e 0 ≤ y ≤ 9 16 x 2
8 . Calcule a área da parte do cone z 2   =   x 2   +   y 2 que se encontra dentro docilindro x 2   +   y 2   ≤   2 x , fora do cilindro x 2   +   y 2   ≤   1 e acima do plano x y ...
Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ S   x y   d S S é a região triangular com vértices 1 ,   0 ,   0   ,   0 ,   2 ,   0 e 0 ,   0 ,   2 .