Enunciado

2) Sejam α (x) e β (x) funções a valores reais diferenciáveis no intervaloaberto I e f (x, y) de classe C1 no aberto Ω ⊂ ℝ2. Suponha que, para todox ∈ I, o segmento de extremidades (x, α (x)) e (x, β (x)) esteja contidoem Ω. Estabeleça uma fórmula para a derivada da função

  h x =     ∫ α ( x ) β ( x ) f x , y d y ,       x ∈   I

Passo 1

Lembra do exercício anterior? Tivemos um caso parecido ficamos com 3 termos independentes, logo podemos dizer que

h x =     ϕ α x ,   β x ,   δ x

h x =     ∫ α ( x ) β ( x ) f δ , y d y

e que queremos a derivada de h é fazer a regra da cadeia

h ' x = d ϕ d α d α d x + d ϕ d β d β d x + d ϕ d δ d δ d x  

NO caso de α   e   β vamos usar o teorema fundamental do calculo e ficamos com

d ϕ d α d α d x = f δ , α d α d x

d ϕ d β d β d x =   f δ , β d β d x  

Já no caso de δ teremos uma derivação normal.

d ϕ d δ d δ d x =   ∫ α ( x ) β ( x ) d f δ , y d x d y

Passo 2

Vamos unir tudo numa única equação lembrando que criamos a variável δ x apenas para fins didáticos, podemos retornar agora com a função original

δ x → x

Assim nossa função h’(x) fica

h ' x = f δ , α d α d x + f δ , β d β d x   + ∫ α ( x ) β ( x ) d f x , y d x d y

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

h ' x = f δ , α d α d x + f δ , β d β d x   + ∫ α ( x ) β ( x ) d f x , y d x d y

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