Enunciado

Sejam f → = ( x z ,   z y ,   x y ) e g → = x 2 ,   y 2 ,   z 2 . Determinar:

∇ × g →

Passo 1

A questão nos pede pra calcular ∇ × g → . Mas o que é isso? Simples, galera: é o rotacional do campo! É uma notaçãozinha diferente, mas é só isso. Então nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular o rotacional do campo vetorial g → dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá o rotacional do campo.

Vamos considerar o campo g → :

g → x ,   y ,   z = g 1 x ,   y ,   z   i → + g 2 x ,   y ,   z   j → + g 3 x ,   y ,   z   k →

Que também pode estar escrito como:

g → x ,   y ,   z = g 1 ,   g 2 ,   g 3

O rotacional desse campo vai ser:

r o t   g → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z g 1 g 2 g 3 = ∂ g 3 ∂ y - ∂ g 2 ∂ z i → + ∂ g 1 ∂ z - ∂ g 3 ∂ x j → + ∂ g 2 ∂ x - ∂ g 1 ∂ y k →

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

g → = x 2 ,   y 2 ,   z 2

Então,

g 1 = x 2

g 2 = y 2

g 3 = z 2

Vamos lá, calculando as derivadas parciais na ordem em que aparecem na expressão!

∂ g 3 ∂ y = ∂ ( z 2 ) ∂ y = 0

∂ g 2 ∂ z = ∂ y 2 ∂ z = 0

∂ g 1 ∂ z = ∂ ( x 2 ) ∂ z = 0

∂ g 3 ∂ x = ∂ ( z 2 ) ∂ x = 0

∂ g 2 ∂ x = ∂ ( y 2 ) ∂ x = 0

∂ g 1 ∂ y = ∂ ( x 2 ) ∂ y = 0

Como deu tudo 0 , o valor do rotacional também vai ser quando a gente substituir!

r o t   g → = 0

Acabamos!

Resposta

r o t   g → = 0

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