Enunciado

Sejam f → = ( x z ,   z y ,   x y ) e g → = x 2 ,   y 2 ,   z 2 . Determinar:

∇ ⋅ g →

Passo 1

A questão nos pede pra calcular ∇ ⋅ g → . Mas o que é isso? Simples, galera: é a divergência do campo! É uma notaçãozinha diferente, mas é só isso. Então nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular a divergência do campo vetorial g → dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá a divergência do campo.

Vamos considerar o campo g → :

g → x ,   y ,   z = g 1 x ,   y ,   z   i → + g 2 x ,   y ,   z   j → + g 3 x ,   y ,   z   k →

Que também pode ser escrito como:

g → x ,   y ,   z = g 1 ,   g 2 ,   g 3

A divergência desse campo vai ser:

d i v   g → = ∂ g 1 ∂ x + ∂ g 2 ∂ y + ∂ g 3 ∂ z

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

g → = x 2 ,   y 2 ,   z 2

Então,

g 1 = x z

g 2 = z y

g 3 = x y

Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia!

∂ g 1 ∂ x = ∂ ( x 2 ) ∂ x = 2 x

∂ g 2 ∂ y = ∂ ( y 2 ) ∂ y = 2 y

∂ g 3 ∂ z = ∂ ( z 2 ) ∂ z = 2 z

Passo 3

Juntando tudo:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Substituindo,

d i v   f → = 2 x + 2 y + 2 z

Fechou!

Resposta

d i v   f → = 2 x + 2 y + 2 z

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →