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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Um curso de Cálculo Volume 1 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - 7.17 - 48

Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = x   g x . Mostre que f é derivável em 0 .

Passo 1

Usando a definição de derivada, tentamos calcular f ' 0 :

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - f ( 0 ) x - 0

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ x   g x - 0   g 0 x

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ x   g x - 0 x

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ g x

Como g é contínua em 0 , temos que existe lim x → 0 ⁡ g x , sendo igual a g 0 . Portanto, a derivada f ' 0 existe, sendo:

f ' 0 = g 0

Logo, f é derivável em 0 .

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