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Sejam f uma função definida num intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha que f x ≤ f p para todo x ∈ I . Prove que lim x → p ⁡ f x - f p x - p = 0 desde que o limite exista.

Sugestão: estude os sinais de lim x → p ⁺ ⁡ f x - f p x - p e de lim x → p ⁻ ⁡ f x - f p x - p

Passo 1

Vamos supor x ∈ I , então para x > p temos:

f x - f p x - p ≤ 0

E para x < p vamos ter que:

f x - f p x - p ≥ 0

Vamos agora calcular os limites laterais:

lim x → p ⁺ ⁡ f x - f p x - p ≤ 0 e lim x → p ⁻ ⁡ f x - f p x - p ≥ 0

Vamos ter então que a única solução de lim x → p ⁡ f x - f p x - p é ser igual a zero:

lim x → p ⁡ f x - f p x - p = 0

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