Enunciado

Sejam S 1 e S 2 as superficies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.

Determine a equação do plano tangente à S 1 em ( 1,1 , 1 ) .

Passo 1

Bom galera, vamos começar relembrando a equação do plano, é assim:

P = x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ v →

Onde x 0 , y 0 , z 0 é o ponto de origem do plano e v → é um vetor normal ao plano, logo também podemos usar o vetor gradiente.

Passo 2

Belezinha, então agora a gente calcular o vetor gradiente usando as derivadas parciais:

∇ S 1 = ∂ f ∂ x ; ∂ f ∂ y ; ∂ f ∂ z

→ ∇ S 1 = 2 x ; - 2 y ; 2 z

Aí calculamos esse vetor gradiente para o ponto 1,1 , 1 :

∇ S 1 1,1 , 1 = 2 1 ; - 2 1 ; 2 1

→ ∇ S 1 1,1 , 1 = 2 , - 2 , 2

Por ser um vetor direção a gente pode simplificar ele, deixando assim:

∇ S 1 1,1 , 1 = 2 , - 2,2 2 = ( 1 , - 1,1 )

Passo 3

Show de bolinhas, agora só substituindo tudo na fórmula:

P = x - 1 , y - 1 , z - 1 ⋅ ( 1 , - 1 , 1 )

Então calculamos o produto escalar:

P = x - 1 - y + 1 + z - 1

Podemos escrever a nossa equação assim:

x - y + z = 1

E prontinho. 😊

Resposta

x - y + z = 1

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →