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Uma superfície S é representada pela equação vetorial

r → u , v = cos ⁡ v   i → + s e n   v   j → + u   k → ,   0 ≤ u ≤ 4 ,   ≤ v ≤ 2 π .

Determinar a área de S

Passo 1

Temos que a área de uma superfície pode ser definida por

A S = ∬ R 1 + ∂ f x , y ∂ x 2 + ∂ f x , y ∂ y 2 d x d y

Onde f x , y é a função que descreve nossa superfície e R é a área que nossa superfície projeta no plano de integração.

Entretanto, “outra forma” de achar a superfície, que na verdade é a mesma coisa e não iremos demostrar aqui, é que dado uma parametrização de nossa superfície, definida em r → u , v , temos que

A S = ∬ B ∂ r → ∂ u ∧ ∂ r → ∂ v d u d v  

Onde B é uma transformação de R corrigida pelo que chamamos de Jacobiano, onde o Jacobiano é o nosso

J = ∂ r → ∂ u ∧ ∂ r → ∂ v

Passo 2

Vamos tomar nosso r → u , v = s e n   v   i → + cos ⁡ v   j → + u   k → e fazer o que parece ser o mais certo fazer hahaha. Vamos tomar nossas derivadas direcionais

∂ r → ∂ u = ( 0,0 , 1 )

E

∂ r → ∂ v = ( - s e n   v , cos ⁡ v , 0 )

Assim temos que

J = i ^ j ^ k ^ 0 0 1 - s e n   v cos ⁡ v 0 = | - cos ⁡ v i ^ - s e n   v   j ^ + 0 k | ^ = - cos ⁡ v 2 + - s e n   v 2 = 1

Nossos limites de integração são definidos pela parametrização das coordenadas cilíndricas com r ∈ [ 0,1 ] e θ ∈ [ 0,2 π ] .

Assim vamos integrar nossa superfície

A S = ∫ 0 4 ∫ 0 2 π d v d u = 8 π

Resposta

8 π   u . a

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