Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Suponha f derivável em a ,   b tal que f ' a ∙ f ' b > 0 e f a = f b . Prove que existem x 1 ,   x 2 ∈   ] a ,   b [ tais que, para todo x em ] a ,   b [ , f x 1 ≤ f x ≤ f x 2 . Interprete geometricamente.

Passo 1

Quando se diz que f ' a ∙ f ' b > 0 , isso significa que essas duas derivadas têm o mesmo sinal. Então, primeiro vamos analisar o caso em que f ' a > 0 e f ' b > 0 .

Em a , a função é estritamente crescente, mas ela não pode crescer pra sempre, se não jamais voltaria a atingir o seu valor f a = f b quando chegasse em b .

Sendo assim, existe um valor máximo para f x nesse intervalo, de modo que existe x 2 tal que f x ≤ f x 2 .

E pelo mesmo motivo, a função não pode decrescer para sempre, por ter que retornar ao valor f a = f b em b .

Ou seja, também existe um valor mínimo para f x nesse intervalo, de modo que existe x 1 tal que f x 1 ≤ f x .

Logo, existem x 1 e x 2 tais que f x 1 ≤ f x ≤ f x 2 nesse intervalo.

Passo 2

Agora, de modo muito análogo, vamos analisar o caso em que f ' a < 0 e f ' b < 0 .

Em a , a função é estritamente decrescente, mas ela não pode decrescer pra sempre, se não jamais voltaria a atingir o seu valor f a = f b quando chegasse em b .

Sendo assim, existe um valor mínimo para f x nesse intervalo, de modo que existe x 1 tal que f x 1 ≤ f x .

E pelo mesmo motivo, a função não pode crescer para sempre, por ter que retornar ao valor f a = f b em b .

Ou seja, também existe um valor máximo para f x nesse intervalo, de modo que existe x 2 tal que f x ≤ f x 2 .

Logo, existem x 1 e x 2 tais que f x 1 ≤ f x ≤ f x 2 nesse intervalo.

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = x + x . Dê um zoom primeiro em direção
Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para to
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para to