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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Um curso de Cálculo Volume 1 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - 7.17 - 46

Suponha f derivável em a ,   b tal que f ' a ∙ f ' b > 0 e f a = f b . Prove que existem x 1 ,   x 2 ∈   ] a ,   b [ tais que, para todo x em ] a ,   b [ , f x 1 ≤ f x ≤ f x 2 . Interprete geometricamente.

Passo 1

Quando se diz que f ' a ∙ f ' b > 0 , isso significa que essas duas derivadas têm o mesmo sinal. Então, primeiro vamos analisar o caso em que f ' a > 0 e f ' b > 0 .

Em a , a função é estritamente crescente, mas ela não pode crescer pra sempre, se não jamais voltaria a atingir o seu valor f a = f b quando chegasse em b .

Sendo assim, existe um valor máximo para f x nesse intervalo, de modo que existe x 2 tal que f x ≤ f x 2 .

E pelo mesmo motivo, a função não pode decrescer para sempre, por ter que retornar ao valor f a = f b em b .

Ou seja, também existe um valor mínimo para f x nesse intervalo, de modo que existe x 1 tal que f x 1 ≤ f x .

Logo, existem x 1 e x 2 tais que f x 1 ≤ f x ≤ f x 2 nesse intervalo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, de modo muito análogo, vamos analisar o caso em que f ' a < 0 e f ' b < 0 .

Em a , a função é estritamente decrescente, mas ela não pode decrescer pra sempre, se não jamais voltaria a atingir o seu valor f a = f b quando chegasse em b .

Sendo assim, existe um valor mínimo para f x nesse intervalo, de modo que existe x 1 tal que f x 1 ≤ f x .

E pelo mesmo motivo, a função não pode crescer para sempre, por ter que retornar ao valor f a = f b em b .

Ou seja, também existe um valor máximo para f x nesse intervalo, de modo que existe x 2 tal que f x ≤ f x 2 .

Logo, existem x 1 e x 2 tais que f x 1 ≤ f x ≤ f x 2 nesse intervalo.

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