Livros Resolvidos Passo a Passo
Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Um curso de Cálculo Volume 1 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - 7.17 - 45

Suponha f derivável em a ,   b e tal que f ' a ∙ f ' b < 0 . Prove que existe p em ] a ,   b [ tal que f x ≤ f p para todo x em a ,   b ou f x ≥ f p para todo x em a ,   b . Interprete geometricamente.

Passo 1

Quando se diz que f ' a ∙ f ' b < 0 , isso significa que essas duas derivadas têm sinais diferentes. Então, primeiro vamos analisar o caso em que f ' a > 0 e f ' b < 0 .

Em a , a função é estritamente crescente, mas ela não pode crescer pra sempre, pois em b ela é decrescente.

E como ela é derivável, não pode crescer abruptamente para + ∞ , para depois voltar a ser decrescente.

Logo, vão existir um ou mais pontos onde a função passará de crescente para decrescente, pois ela pode ir alternando entre crescente e decrescente. Esses pontos são chamados de máximos locais, pois são mais elevados do que sua vizinhança, é como se fosse o topo de uma montanha.

Assim, o maior entre os máximos locais será o máximo global, ou seja, existe p que satisfaz f x ≤ f p no intervalo, para o caso em que f ' a > 0 e f ' b < 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, de modo muito análogo, vamos analisar o caso em que f ' a < 0 e f ' b > 0 .

Em a , a função é estritamente decrescente, mas ela não pode decrescer pra sempre, pois em b ela é crescente.

E como ela é derivável, não pode decrescer abruptamente para - ∞ , para depois voltar a ser crescente.

Logo, vão existir um ou mais pontos onde a função passará de decrescente para crescente, pois ela pode ir alternando entre decrescente e crescente. Esses pontos são chamados de mínimos locais, pois são mais baixos do que sua vizinhança.

Assim, o menor entre os mínimos locais será o mínimo global, ou seja, existe p que satisfaz f x ≥ f p no intervalo, para o caso em que f ' a < 0 e f ' b > 0 .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas