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Suponha f derivável em a ,   b e tal que f ' a ∙ f ' b < 0 . Prove que existe p em ] a ,   b [ tal que f x ≤ f p para todo x em a ,   b ou f x ≥ f p para todo x em a ,   b . Interprete geometricamente.

Passo 1

Quando se diz que f ' a ∙ f ' b < 0 , isso significa que essas duas derivadas têm sinais diferentes. Então, primeiro vamos analisar o caso em que f ' a > 0 e f ' b < 0 .

Em a , a função é estritamente crescente, mas ela não pode crescer pra sempre, pois em b ela é decrescente.

E como ela é derivável, não pode crescer abruptamente para + ∞ , para depois voltar a ser decrescente.

Logo, vão existir um ou mais pontos onde a função passará de crescente para decrescente, pois ela pode ir alternando entre crescente e decrescente. Esses pontos são chamados de máximos locais, pois são mais elevados do que sua vizinhança, é como se fosse o topo de uma montanha.

Assim, o maior entre os máximos locais será o máximo global, ou seja, existe p que satisfaz f x ≤ f p no intervalo, para o caso em que f ' a > 0 e f ' b < 0 .

Passo 2

Agora, de modo muito análogo, vamos analisar o caso em que f ' a < 0 e f ' b > 0 .

Em a , a função é estritamente decrescente, mas ela não pode decrescer pra sempre, pois em b ela é crescente.

E como ela é derivável, não pode decrescer abruptamente para - ∞ , para depois voltar a ser crescente.

Logo, vão existir um ou mais pontos onde a função passará de decrescente para crescente, pois ela pode ir alternando entre decrescente e crescente. Esses pontos são chamados de mínimos locais, pois são mais baixos do que sua vizinhança.

Assim, o menor entre os mínimos locais será o mínimo global, ou seja, existe p que satisfaz f x ≥ f p no intervalo, para o caso em que f ' a < 0 e f ' b > 0 .

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