Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 30
Suponha que você saiba que
e que a série de Taylor de f centrada em converge para para todo no intervalo de convergência. Mostre que o polinômio de Taylor de grau aproxima com erro menor que .
Passo 1
Para calcular o erro, usaríamos a fórmula , mas temos um problema aqui, consegue ver qual?
Nós não temos a função, então não conseguimos calcular o erro exato, mas podemos estima-lo por dois métodos, o primeiro é pela Desigualdade de Taylor e o segundo, podemos ver que o termo geral da série vai ter um , então podemos usar o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas.
Particularmente, eu acho o segundo mais simples, então vamos usar ele.
Passo 2
O Teorema da Estimativa de Séries Alternadas que diz que se
Então
Mas o que isso quer dizer? Se tivermos uma série alternada, o erro de uma estimativa é menor que o próximo termo da série em módulo.
A nossa série é uma série de Taylor que é do formato
Nós temos , então temos que a série é
Pra que precisamos da série? Não precisamos na verdade, só precisamos do termo geral para calcular o próximo termo após o quinto grau.
Passo 3
Então temos que ele quer calcular por um polinômio de Taylor de grau , então temos que
Como estamos estimando
E como , o nosso erro .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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