Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 9.3 - Ex. 48

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A tank contains 1000 L of pure water. Brine that contains 0.05 kg of salt per liter of water enters the tank at a rate of 5 Lymin. Brine that contains 0.04 kg of salt per liter of water enters the tank at a rate of 10 Lymin. The solution is kept thoroughly mixed and drains from the tank at a rate of 15 Lymin. How much salt is in the tank (a) after t minutes and (b) after one hour?

Passo 1

Muito parecido com a questão anterior. Sendo que agora temos duas entradas de agua. Então temos um tanque com agua pura, entra 15 L/min e sai 15 L/m. Podemos desenhar assim o nosso tanque.

Então temos que escrever essa equação diferencial dessa Massa de SAL

d m d t = m a s s a   e n t r a - m a s s   s a i

d m d t =   0,05 * 5 L m i n + 0,0 4 * 10 L m i n - m 1000 * 1 5 L m i n    

Nós não sabemos como se comporta a mistura de Sal dentro do tanque então deixamos como função de m.

d m d t = 0,25 + 0,40 - 3 m 2 00

d m d t = 0,65 - 3 m 200

Prontinho, agora sim podemos calcular

Passo 2

d m d t = 0,65 - 3 m 200

d m d t = 130 - 3 m 2 00

1 1 30 - 3 m   d m = 1 2 00 d t

Agora vamos integrar em ambos os lados

∫ 1 130 - 3 m   d m =   ∫ 1 2 00 d t

- 1 3 ln ⁡ 130 - 3 m = 1 2 00 t + C

ln ⁡ 130 - 3 m =   - 3 200 t + C

130 - 3 m = e - 3 200 t + C

m = 130 3 - 1 3 e - 3 200 t + C

Prontinho. Conseguimos descrever como funciona nossa massa de sal se mistura no tanque. Temos também dados de contorno que nos ajudam a achar C

m 0 = 0

0 = 130 3 - 1 3 e C

e C = 130

C = ln ⁡ 130

Logo podemos escrever nossa função como

m = 130 3 - 1 3 e - 3 200 t + l n 130

Passo 3

Entao depois t minutos teremos

m = 130 3 - 1 3 e - 3 200 t + l n 130

E após 60 minutos

m 60 =   130 3 - 1 3 e - 3 200 60 + l n 130

m 60 =   25.7   k g

Então terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

m = 130 3 - 1 3 e - 3 200 t + l n 130

m 60 =   25.7   k g

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