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Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 9.5 - Ex. 34

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Um tanque com capacidade de 400   L está cheio com uma mistura de água e cloro com uma concentração de 0,05 g   de cloro por litro. Para reduzir a concentração de cloro, água doce é bombeada no tanque a uma taxa de 4 L / s . A mistura é agitada e é retirada a uma taxa de 10 L / s . Calcule a quantidade de cloro no tanque em função do tempo.

Passo 1

Nessa questão, temos um tanque com 4 00 L de água e cloro, onde a concentração de cloro é 0,05 g / L . Para fazer essa concentração diminuir, é adicionada água doce a uma taxa de 4 L / s e retirada a 10 L / s . Queremos encontrar a quantidade de cloro no tanque em função do tempo.

Se a água entra a   4 L / s e sai a 10 L / s , temos uma vazão total igual a 4 - 10 =   - 6 L / s .

Então a quantidade de solução em um instante t pode ser encontrada pela expressão

400 - 6 t , onde 400 é o volume inicial no tanque.

A concentração de cloro será

y t 400 - 6 t

Como o cloro está saindo a uma taxa de 10 L / s , temos:

d y d t = - 10   y t 400 - 6 t = - 5 y t 200 - 3 t

d y 5 y =   - d t 200 - 3 t

Note que aí temos uma EDO separável, para resolver podemos integrá-la dos dois lados, assim:

∫ d y 5 y =   - ∫ d t 200 - 3 t

ln ⁡ y 5 = ln ⁡ 200 - 3 t 3 + C

ln ⁡ y = 5 ln ⁡ 200 - 3 t 3 + C

Lembre sempre da constante C em uma integral indefinida.

ln ⁡ y = ln ⁡ 200 - 3 t 5 3 + C

Como estamos falando de quantidades e tempo, esses valores sempre serão positivos, então podemos retirar os módulos, ficamos com:

ln ⁡ y = ln ⁡ ( 200 - 3 t ) 5 3 + C

e l n y = e ln ⁡ 200 - 3 t 5 3 + e l n C

y = e c ( 200 - 3 t ) 5 3  

Quando t = 0 , nós temos y = 20 g de cloro inicialmente no tanque, então:

20 = e c 200 5 3

e c = 20 200 5 3

Assim, chegamos que nossa equação é:

y t = 20 200 5 3   200 - 3 t 5 3    

Ajeitando...

y t = 20   200 - 3 t 200 5 3

Resposta

y t = 20   200 - 3 t 200 5 3

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