Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 5.3 - Ex. 9

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desse livro

Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5   m de raio de base e 10   m de altura. No tempo t = 0 , a água começa a fluir no tanque à razão de 25   m 3 / h . Com que velocidade o nível de água sobe? Quanto tempo levará para o tanque ficar cheio?

Passo 1

Pessoal, mais uma questão de taxa de variação! Sejam as equações:

v = v t   o   v o l u m e   d e   á g u a   n o   t a n q u e ;

h = h t   a   a l t u r a   d a   á g u a   n o   i n s t a n t e   t ;

r   o   r a i o   d a   b a s e .

Queremos descobrir a velocidade com que o nível da água sobe. A taxa de variação do volume é dada por:

d v d t = 25   m 3 / h

O volume do cilindro pode ser escrito como:

v = π r 2 h

h = v π 25

Assim, a taxa de variação da altura é igual a:

d h d v = 1 π 25

d h d t = d h d v ⋅ d v d t

d h d t = 1 25 π ⋅ 25

d h d t = 1 π   m / h o r a s

Passo 2

O nível da água sobre com uma velocidade de 1 π   m / h o r a . O volume do tanque é:

V = π r 2 h = π 5 2 10 = 250 π

Assim,

25   m 3 ↔ 1   h o r a

250 π   m 3 ↔ x   h o r a s

x = 250 1 π 25 = 10 π   h o r a s

Resposta

A velocidade com que sobe o nível da água é:

d h d t = 1 π   m / h o r a s

O tempo necessário para encher o tanque é:

x = 10 π   h o r a s

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