Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Teste a convergência ou divergência da série:

∑ n = 1 ∞ n 2 2 n - 1 - 5 n

Passo 1

Eita...sériezinha meio feia, né? Vamos dar uma ajustada nela?

∑ n = 1 ∞ n 2 2 n - 1 - 5 n = ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n - 1 - 1 n ∙ 5 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n   n 2 2 n - 1 5 n ⏟ b n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n   b n

Aquele - 1 n já deu uma melhorada, né? Já está com uma cara mais aparente de série alternada. Então... Vamos aplicar o “Teste da Série Alternada”?

Passo 2

Olha só que malandragem (momento #ficaadica): o nosso termo b n será sempre um termo positivo na série, certo? Beleza....Para usarmos o Teste da Série Alternada, precisamos garantir 2 condições:

( i ) b n + 1 ≤ b n

i i lim n → ∞ ⁡ b n = 0

A malandragem vem aqui: se garantirmos a condição ( i i ) , automaticamente estamos garantindo a condição ( i ) .

Vamos, então, partir pra verificação da condição ( i i ) .

Passo 3

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ n 2 2 n - 1 5 n

Vamos reescrever aquele 2 n - 1 como 2 n 2

lim n → ∞ ⁡ n 2 ∙ 1 2 ∙ 2 n 5 n = 1 2 ∙ lim n → ∞ ⁡ n 2 ∙ 2 5 n

Chegamos numa inconsistência do tipo “ ∞ ∙ 0 ”. Vamos rearranjar a expressão para aplicarmos L’Hopital

1 2 ∙ lim n → ∞ ⁡ n 2 ∙ 2 5 n = 1 2 ∙ lim n → ∞ ⁡ n 2 5 2 n →     L ' H o p i t a l   1 2 ∙ lim n → ∞ ⁡ 2 ln ⁡ 5 2 2 5 2 n = 0

Ufa! Quantas contas! Mas finalmente chegamos à conclusão de que a nossa série é convergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ n 2 2 n - 1 - 5 n   é convergente

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos s
Aproxime a soma da serie com a precisao de quatro casas decimais: ∑ n
Aproxime a soma da serie com a precisao de quatro casas decimais: ∑ n
Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da serie precisamos s
Aproxime a soma da serie com a precisao de quatro casas decimais: ∑ n
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente con
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 1 n
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ n n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n se
Aproxime a soma da serie com a precisao de quatro casas decimais: ∑ n
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente con
Para quais valores de p cada série é convergente? ∑ n = 1 ∞ - 1 n n +