Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 11.5 - Ex. 19

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desse livro

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n n n !

Passo 1

A série alternada da forma

a n = - 1 n b n

Ou

a n = - 1 n + 1 b n

Onde b n ≥ 0 .

Converge se obedecer o teste da série alternada que tem duas condições

  1. b n + 1 < b n para todo n
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Passo 2

Analisando b n = n n / n ! , podemos perceber algo

b n = n n n ! = n ⋅ n ⋅ n … n 1 ⋅ 2 ⋅ 3 … n

Claramente o numerador tende a ser maior que o denominador e no limite

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ n ⋅ n ⋅ n … n 1 ⋅ 2 ⋅ 3 … n = ∞

Como o limite do termo diverge, a série também diverge.

Resposta

Diverge.

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