Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 11.5 - Ex. 20

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Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n ( n + 1 - n )  

Passo 1

É uma série alternada, então pra provar a convergência a gente precisa de ver duas coisinhas:

  1. b n + 1 ≤ b n   para todo n .
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Se essas duas (ou uma das duas) não derem certo, ela diverge.

Nesse caso aí o b n = n + 1 - n

Beleza, pra ficar mais fácil fazer a comparação, a gente vai modificar um pouquinho...

b n =   n + 1 - n   1 ∙ n + 1 + n n + 1 + n =   n + 1 - n n + 1 + n = 1 n + 1 + n

Agora melhorou...

Passo 2

Vamos ver a primeira condição então...

1 ( n + 1 ) + 1 + n + 1 ≤ 1 n + 1 + n  

Como a gente sabe que a série começa em n = 1 , não vamos ter números entre 0   e   1 aí.

Olha, nas duas a gente tem o 1 dividindo uma expressão. Se a gente aumentar o valor da expressão do denominador, o valor de b vai diminuir.

Ou seja, b n + 1 ≤ b n . A desigualdade ali é verdadeira. Primeiro item provado.

Passo 3

Bora ver o segundo item então...

lim n → ∞ ⁡ b n

Vamos pegar a mesma expressão pra b n do passo anterior?? Fica mais fácil, olha:

lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 + n = 1 ∞ + ∞ = 0

Então também tá ok, e a série converge.

Resposta

Converge.

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