Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 11.7 - Ex. 5

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desse livro

Teste a série quanto a sua convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ e n n 2  

Passo 1

A principal estratégia para resolver esse tipo de questão sem perda de tempo e esforço é classificando a série de acordo com a sua forma.

A série do enunciado possui uma constante elevada a n . Nesses casos, o Teste da Razão pode ser uma boa opção para testar sua convergência.

Passo 2

Através do enunciado, vemos que

a n = e n n 2

No Teste da Razão, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

onde

L < 1 ,         a   s é r i e   é   a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e L > 1 ,           a   s é r i e   é   d i v e r g e n t e L = 1 ,           n ã o   s e   p o d e   t i r a r   c o n c l u s õ e s

Ao aplicar o Teste da Razão na série dada, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ e n + 1 n + 1 2 n 2 e n  

Agora vamos reescrever esta equação de forma que podemos simplificá-la:

lim n → ∞ ⁡ e n e n + 1 2 n 2 e n = lim n → ∞ ⁡ n 2 e n + 1 2 = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 2 e

Colocando n em evidência no termo elevado ao quadrado, obtemos

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 / n 2 e = e

Logo,

L = e ≈ 2,718 > 1

Neste caso, a série é divergente

Resposta

divergente

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