Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart - Capítulo 11.5 - Ex. 16

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Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ s en ⁡ ( n π / 2 ) n !

Passo 1

A série alternada da forma

a n = - 1 n b n

Ou

a n = - 1 n + 1 b n

Onde b n ≥ 0 .

Converge se obedecer o teste da série alternada que tem duas condições

  1. b n + 1 < b n para todo n
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Passo 2

Mas essa série não tem a cara de uma alternada, porém se analisarmos sen ⁡ ( n π / 2 ) , como n é uma variável discreta, com valores pares

sen ⁡ ( 2 n π / 2 ) = sen ⁡ ( n π ) = 0

Com valores impares

sen ⁡ ( ( 2 n - 1 ) π / 2 ) = sen ⁡ ( n π - π / 2 ) = - 1 n - 1

Então sen ⁡ ( n π / 2 ) , para n par zera o termo e para n ímpar ele alterna entre 1 e - 1 , dependendo do valor. Podemos dizer então que

∑ n = 1 ∞ sen ⁡ ( n π / 2 ) n ! = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 ( 2 n - 1 ) !

Passo 3

Agora vamos ver se a série obedece as duas regras do teste da série alternada.

Para a primeira regra b n + 1 < b n , neste caso temos que

b n = 1 ( 2 n - 1 ) !

Temos que analisar se

1 ( 2 ( n + 1 ) - 1 ) ! = 1 ( 2 n + 1 ) ! < 1 ( 2 n - 1 ) !

Sabemos que 2 n + 1 ! = 2 n + 1 2 n ( 2 n - 1 ) !

1 2 n + 1 2 n ( 2 n - 1 ) !   < 1 ( 2 n - 1 ) !

A comparação é verdadeira, já que o denominador da esquera é o mesmo da direita, porém multiplicado por 2 números inteiros.

Passo 4

Para a segunda regra, basta calcular o limite de b n

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 ( 2 n - 1 ) ! = 0

Como a série obedece as duas regras do teste da série alternada, a série converge.

Resposta

Converge.

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