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Trace a curva e calcule seu comprimento.

46. x = e t - t ,     y = 4 e t 2 ,         - 8 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Queremos esboçar a curva que tem as equações paramétricas dadas. Bom, para fazer isso, vamos criar uma tabelinha de valores que relacionam t ,   x   e   y , aí poderemos plotar esses pontos no gráfico.

Assim, quando t = 0 , por exemplo, teremos x = e 0 - 0   = 1 e y = 4 e 0 = 4 . Fazemos o mesmo para outros valores de   t , e montamos a seguinte tabela:

Show! Agora só precisamos colocar esses pontos em um gráfico e traçar uma linha unindo eles.

Passo 2

Passo 3

Agora nós queremos calcular o comprimento dessa curva. Sabemos que o comprimento   L de uma curva pode ser calculado pela integral:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

Então mãos à obra! Vamos calcular d x d t e d y d t

d x d t =   e t - 1  

d y d t = 2 e t 2

L =   ∫ - 8 3 ( e t - 1 ) 2 + 2 e t 2 2   d t

L =   ∫ - 8 3 e 2 t - 2 e t + 1 + 4 e t   d t

L =   ∫ - 8 3 e 2 t + 2 e t + 1   d t

L =   ∫ - 8 3 e t + 1 2   d t

L =   ∫ - 8 3 e t + 1   d t

L = [ e t + t ] - 8 3 t  

L = e 3 + 3 - e - 8 - 8 = e 3 - e - 8 + 11

Então o comprimento dessa curva é L = e 3 - e - 8 + 11

Resposta

L = e 3 - e - 8 + 11

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