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Um triângulo retângulo de hipotenusa 3   m gira em torno de um dos seus catetos gerando um cone circular reto. Determine o raio, a altura e o volume do cone de mairo volume que pode ser gerado dessa maneira.

Passo 1

O volume vai ser:

V = π r 2 h 3

Por Pitágoras:

h 2 + r 2 = 3 2

h 2 + r 2 = 3

Como temos r 2 na fórmula do volume, vamos ter:

r 2 = 3 - h 2

Assim, nosso volume fica:

V = π 3 - h 2 h 3

V = π 3 3 h - h 3

Onde o valor de h vai de 0 , até 3 . Isso porque o r não pode ser negativo e ele é 3 menos h 2

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Primeiro fazemos:

V = π 3 3 h - h 3

Derivando V ,

V ' = π 3 3 - 3 h 2

V ' = π 1 - h 2

Fazendo isso igual a 0

1 - h 2 = 0

h 2 = 1

h = ± 1

Mas h não pode ser negativo, então:

h = 1

Passo 3

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

V = π 3 3 h - h 3

Vamos ter:

h = 0 → V = π 3 3 0 - 0 3 = 0

h = 1 → V = π 3 3 1 - 1 3 = 2 π 3

h = 3 → V = π 3 3 3   - 3 3 = 0

O maior dos 3 valores é quando h = 1

Então:

r 2 = 3 - 1 2

r 2 = 2

r = 2

Além disso

V = 2 π 3

Resposta

h = 1

r = 2

V = 2 π 3

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