Enunciado

Use uma aproximação linear local para estimar o valor da quantidade dada:

sin ⁡ 0,1

Passo 1

A gente sabe pela fórmula (1) que se quisermos aproximar uma função, vale:

f x ≈ f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Mas precisamos escolher uma função e um x 0

Nesse caso parece uma boa ideia escolher f x = sin ⁡ x e x 0 = 0 , até porque a gente conhece o seno de 0 . Fica assim:

  f x 0 =   f 0 = sin ⁡ 0   = 0

Derivando...

f ' x = sin ⁡ x ' = cos ⁡ x    

⇒               f ' x 0 = f ' 0 = cos ⁡ 0 = 1      

Passo 2

Substituindo esses dados na Fórmula (1):

f x = sin ⁡ x   ≈ f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Como x 0 = 0

sin ⁡ x   ≈ f 0 + f ' ( 0 ) ( x - 0 )

Chegamos na equação que aproxima valores de f quando x estiver próximo de 0

sin ⁡ x ≈ 0 + 1 ( x - 0 )

sin ⁡ x   ≈ x

Passo 3

Fazendo x = 0,1 e colocando na expressão de aproximação:

sin ⁡ 0,1   ≈ 0,1

PS: pra essa aproximação devemos usar o ângulo em radianos, nesse caso já estava 😊

Resposta

sin ⁡ 0,1   ≈ 0,1

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