Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 3.5 - Ex. 48

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  1. Use uma calculadora para tabular até quatro casas decimais os valores de   s e n x - s e n 1 3 π x - 1 3 π quando x é 3 1 0 π , 19 6 0 π , 33 1 00 π , 199 6 00 π , 333 1 000 π e x é 11 3 0 π , 7 2 0 π , 101 3 00 π , 67 2 00 π , 1001 3 000 π . A que quociente parece tender quando x se aproxima de π 3 ?
  2. Ache lim x → π 3 ⁡   s e n x - s e n 1 3 π x - 1 3 π , interpretando-o como uma derivada.

Passo 1

O problema a) nos dá uma função e pede para a gente calcular o valor dela para cada valor de x dado, então basta substituirmos cada um dos valores e calcularmos o resultado da função:

f x =     s e n x - s e n 1 3 π x - 1 3 π

E então arredondarmos o resultado para quatro casas decimais de precisão, para depois colocarmos em uma tabela de resultados.

Passo 2

Certo, vamos substituir o primeiro valor x =   3 10 π :

f 3 10 π = s e n 3 10 π - s e n 1 3 π 3 10 π -   1 3 π

E calcularmos as funções seno e as frações nos denominadores:

f 3 10 π = 0,809016994 - 0,866025403 0,942477796 - 1.047197551

Resolvendo as subtrações e a razão:

f 3 10 π = 0,544390206

Passo 3

Agora que já temos o resultado da função para esse x, podemos arredondar para as quatro casas decimais:

f 3 10 π ≅ 0,5444

Passo 4

O mesmo processo pode ser feito para cada um dos valores de x que estão nos dando no enunciado, com eles podemos montar uma tabela:

Repare que conforme os cinco primeiros valores de x se aproximam de π 3 , a função f(x) se aproxima de 0,5 por valores maiores. E conforme os últimos cinco valores de x se aproximam de π 3 , f(x) se aproxima de 0,5 por valores menores.

Passo 5

Na letra b) o enunciado pede para a gente interpretar o limite dado como uma derivada. Então podemos comparar a definição de limite:

lim ∆ x → 0 ⁡ f x +   ∆ x - f ( x ) ∆ x

Com o limite que a questão pede para a gente calcular:

lim x → π 3 ⁡   c o s x - c o s ⁡ 1 3 π x - 1 3 π

Mas sabemos que a derivada da função seno é:

d ( s e n x ) d x = c o s x

Então basta substituir o valor para o qual x tende na derivada e encontramos o valor do limite pedido:

cos ⁡ π 3 =   1 2

Resposta

  1. 1 2

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