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Use as definições das funções hiperbólicas para achar os seguintes limites.

(a) lim x → ∞  ⁡ tgh ⁡ x

(b)   lim x → - ∞ ⁡ tgh ⁡ x

(c)   lim x → ∞ ⁡ senh ⁡ x

(d)   lim x → - ∞ ⁡ senh ⁡ x

(e)   lim x → ∞ ⁡ sech ⁡ x

(f)   lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x

(g)   lim x → 0 + ⁡ cotgh ⁡ x

(h)   lim x → 0 - ⁡ cotgh ⁡ x

(i)   lim x → - ∞ ⁡ cossech ⁡ x

Passo 1

Item a:

Se tgh ⁡ x (tangente hiperbólica de x ) é dada por:

tgh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

Então:

lim x → ∞  ⁡ tgh ⁡ x = lim x → ∞  ⁡ e x - e - x e x + e - x

A malandragem agora é a gente multiplicar, em cima e embaixo, por e x , de maneira que:

lim x → ∞  ⁡ e x - e - x e x + e - x . e x e x = lim x → ∞  ⁡ e 2 x - 1 e 2 x + 1

Como o limite da soma é a soma dos limites:

lim x → ∞  ⁡ tgh ⁡ x = lim x → ∞  ⁡ e 2 x e 2 x + 1 - lim x → ∞  ⁡ 1 e 2 x + 1

Agora analisando separadamente, vamos obter:

lim x → ∞  ⁡ e 2 x e 2 x + 1 ⇒ L'Ho s pital ⇒ l i m x → ∞   2 e 2 x 2 e 2 x = 1

Da mesma maneira:

lim x → ∞  ⁡ 1 e 2 x + 1 = 1 ∞ = 0

Portanto:

lim x → ∞  ⁡ tgh ⁡ x = lim x → ∞  ⁡ e 2 x e 2 x + 1 - lim x → ∞  ⁡ 1 e 2 x + 1

lim x → ∞  ⁡ tgh ⁡ x = 1 - 0

lim x → ∞  ⁡ tgh ⁡ x = 1

Passo 2

Item b:

Se tgh ⁡ x (tangente hiperbólica de x ) é dada por:

tgh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

Então:

lim x → - ∞  ⁡ tgh ⁡ x = lim x → - ∞  ⁡ e x - e - x e x + e - x = lim x → - ∞  ⁡ e 2 x - 1 e 2 x + 1

Como e 2 x   vai pra infinito quando x vai para infinito e uma razão entre uma constante e um número que vai pra infinito converge para zero, temos:

lim x → - ∞  ⁡ tgh ⁡ x = 0 - 1 0 + 1

lim x → - ∞  ⁡ tgh ⁡ x = - 1

Passo 3

Item c:

Se o senh ⁡ x (seno hiperbólico de x ) é dado por:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

Então:

lim x → ∞ ⁡ senh ⁡ x =   lim x → ∞ ⁡ e x - e - x 2

Como e x   vai pra infinito e e - x converge para zero quando x vai para infinito então:

lim x → ∞ ⁡ senh ⁡ x = ∞

Passo 4

Item d:

lim x → - ∞ ⁡ senh ⁡ x = lim x → - ∞ ⁡ e x - e - x 2

Como e x   vai pra menos infinito e e - x converge para zero quando x vai para infinito então:

lim x → - ∞ ⁡ senh ⁡ x = - ∞

Passo 5

Item e:

Se a secante é dada por:

sech ⁡ x = 2 e x + e - x

Então:

lim x → ∞ ⁡ sech ⁡ x =   lim x → ∞ ⁡ 2 e x + e - x

Como e x   vai pra infinito e e - x converge para zero quando x vai para infinito e uma razão entre uma constante e um número que vai pra infinito converge para zero, temos:

lim x → ∞ ⁡ sech ⁡ x = 0

Passo 6

Item f:

Se cotgh ⁡ x (cotangente hiperbólica de x ) é dada por:

cotgh ⁡ x = e x + e - x e x - e - x

Então:

lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ e x + e - x e x - e - x = lim x → ∞ ⁡ e 2 x + 1 e 2 x - 1

lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ e 2 x e 2 x - 1 + lim x → ∞ ⁡ 1 e 2 x - 1

lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ 1 1 - 1 e 2 x   + lim x → ∞ ⁡ 1 e 2 x - 1

lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x = 1 1 - 0   + 0

lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x = 1

Passo 7

Item g:

lim x → 0 + ⁡ cotgh ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ e 2 x + 1 e 2 x - 1

  lim x → 0 + ⁡ cotgh ⁡ x = ∞

Passo 8

Item h:

lim x → 0 - ⁡ cotgh ⁡ x = lim x → 0 - ⁡ e 2 x + 1 e 2 x - 1

lim x → 0 - ⁡ cotgh ⁡ x = - ∞

Passo 9

Item i:

lim x → - ∞ ⁡ cossech ⁡ x = lim x → - ∞ ⁡ 2 e x - e - x

lim x → - ∞ ⁡ cossech ⁡ x = lim x → - ∞ ⁡ 2 0 - e - x

lim x → - ∞ ⁡ cossech ⁡ x = 0

Resposta

(a) lim x → ∞  ⁡ tgh ⁡ x = 1

(b) lim x → - ∞  ⁡ tgh ⁡ x = - 1

(c) lim x → ∞ ⁡ senh ⁡ x = ∞

(d) lim x → - ∞ ⁡ senh ⁡ x = - ∞

(e) lim x → ∞ ⁡ sech ⁡ x = 0

(f) lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x = 1

(g)   lim x → 0 + ⁡ cotgh ⁡ x = ∞

(h) lim x → 0 - ⁡ cotgh ⁡ x = - ∞

(i) lim x → - ∞ ⁡ cossech ⁡ x = 0

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