Enunciado

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Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função

y = ln ⁡ x cos ⁡ x

Passo 1

Primeiramente, tomaremos o ln ⁡ y , daí ficamos com

ln ⁡ y = ln ⁡ ln ⁡ x cos ⁡ x

ln ⁡ y = cos ⁡ x ⋅ ln ⁡ ln ⁡ x

Passo 2

Agora, derivando usando as regras da cadeia e do produto, ficamos com

1 y ⋅ y ' = - sin ⁡ x ⋅ ln ⁡ ln ⁡ x + cos ⁡ x ⋅ 1 ln ⁡ x ⋅ 1 x

1 y ⋅ y ' = - sin ⁡ x ⋅ ln ⁡ ln ⁡ x + cos ⁡ x x ⋅ ln ⁡ x

Isolando y ' , ficamos com

y ' = y ⋅ - sin ⁡ x ⋅ ln ⁡ ln ⁡ x + cos ⁡ x x ⋅ ln ⁡ x

Passo 3

Agora basta substituirmos y , então

y ' = ln ⁡ x cos ⁡ x ⋅ - sin ⁡ x ⋅ ln ⁡ ln ⁡ x + cos ⁡ x x ⋅ ln ⁡ x

Resposta

y ' = ln ⁡ x cos ⁡ x ⋅ - sin ⁡ x ⋅ ln ⁡ ln ⁡ x + cos ⁡ x x ⋅ ln ⁡ x

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