Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.3 - Ex. 78
- Use o exercício 83 para mostrar que o ângulo entre a reta tangente e a reta tadial é em cada ponto na curva .
- Ilustre a parte traçando, com uma ferramenta gráfica, a curva e a reta tangente aos pontos onde e
- Demonstre que qualquer curva polar com a propriedade de que o ângulo entre a reta radial e a reta tangente é uma constante deve ser do tipo , onde e são constantes.
Passo 1
Do exercício 83 concluimo que
Ou seja, a tangente entre o ângulo entre a reta tangente e a reta tadial é dada pela razão entre e a derivada de em relação a
Passo 2
Se aqui temos que
Então
Assim
E o ângulo cuja tangente é é , logo
Passo 3
Traçando a curva a curva, temos
Passo 4
Agora vamos achar as equações das retas tangentes nos pontos correspondentes a e .
A inclinação da reta tangente é:
Assim,
Quando , temos
E quando , temos
Passo 5
Além disso precisamos descobrir quando valem e quando e .
Então, quando , temos
E quando , temos
Passo 6
As equações das retas tangentes são:
E
Passo 7
Traçando essas duas retas junto com o gráfico que traçamos no passo 3:
Passo 8
Vamos chamar
Assim,
E temos uma EDO separável para resolver.
Passo 9
Pra resolver isso, multiplicando cruzando:
Integrando de ambos os lados:
Lembrando que é uma constante.
Falando em constante, vamos juntar as constantes e vamos isolar o :
E se a gente chamar e ficamos com a mesma notação da questão e chagamos exatamente onde ela nos pediu:
Resposta
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