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Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.

∫ 1 2 x 3 d x

Passo 1

Vamos lá, pelo Teorema 4 temos:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

onde ∆ x = b - a n e x i = a + i ∆ x

Temos que então achar ∆ x e x i , pela integral já sabemos que a = 1 e b = 2 , assim:

∆ x = 2 - 1 n = 1 n

x i = 1 + i ∆ x = 1 + i n

Pronto, agora podemos substituir:

∫ 1 2 x 3 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 + i n 3 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 n ∑ i = 1 n n + i n 3 = lim n → ∞ ⁡ 1 n ∑ i = 1 n n 3 + 3 n 2 i + 3 n i 2 + i 3 n 3 = lim n → ∞ ⁡ 1 n 4 ∑ i = 1 n n 3 + 3 n 2 i + 3 n i 2 + i 3

Passo 2

Agora vamos usar algumas regras de somatórios:

∑ i = 1 n c a i = c ∑ i = 1 n a i

∑ i = 1 n c = n c

∑ i = 1 n a i + b i = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i

Temos então que:

∫ 1 2 x 3 d x = lim n → ∞ ⁡ 1 n 4 ∑ i = 1 n n 3 + 3 n 2 i + 3 n i 2 + i 3 = lim n → ∞ ⁡ 1 n 4 ∑ i = 1 n n 3 + ∑ i = 1 n 3 n 2 i + ∑ i = 1 n 3 n i 2 + ∑ i = 1 n i 3 = lim n → ∞ ⁡ 1 n 4 n . n 3 + 3 n 2 ∑ i = 1 n i + 3 n ∑ i = 1 n i 2 + ∑ i = 1 n i 3 =

Agora vamos usar as fórmulas para somas de potências de inteiros positivos:

∑ i = 1 n i = n n + 1 2

∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6

∑ i = 1 n i 3 = n n + 1 2 2

Vamos aplicar então e resolver o limite:

∫ 1 2 x 3 d x = lim n → ∞ ⁡ 1 n 4 n . n 3 + 3 n 2 ∑ i = 1 n i + 3 n ∑ i = 1 n i 2 + ∑ i = 1 n i 3 = lim n → ∞ ⁡ 1 n 4 n 4 + 3 n 2 n n + 1 2 + 3 n n n + 1 2 n + 1 6 + n n + 1 2 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n 2   n n + 1 2 + 3 n 3 n n + 1 2 n + 1 6 + 1 n 4 n 2 n + 1 2 4 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 2   n + 1 n + 1 n 2 n + 1 2 n + 1 2 + 1 4 n + 1 2 n 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 2   1 + 1 n + 1 2 n + 1 n 2 n + 1 n   + 1 4 n + 1 n 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 2   1 + 1 n + 1 2 1 + 1 n 2 + 1 n   + 1 4 1 + 1 n 2 = 1 + 3 2 + 1 2 . 2 + 1 4 = 3,7 5

Resposta

∫ 1 2 x 3 d x = 3,7 5

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